رياضه اولى ثانوى الترم الثانى العلاقات الأساسية بين الدوال المثلثية

العلاقات الأساسية بين الدوال المثلثية

القياس الدائري لزاوية مركزية العلاقة بين التقديرالستينى والدائري

أولا: هـء = هـء = سْ ×

ل = هـء × نق سْ =هـء ×

ثانيا : الدوال المثلثية للزاوية الحادة :

جا هـ =
س2 + ص2 = 1
جتا هـ = جا هـ = ص
جتا هـ = س
طا هـ = طا هـ =

ثالثا : عند تبسيط الدوال المثلثية للزوايا نراعى الآتى:
1) 90 ، 270 تغير الدوال المثلثية ( تحذف ت أو تضع ت)
2) 180 ، 360 تحافظ علي الدوال المثلثية
3) مراعاة الإشارة حسب الربع
رابعا : العلاقات بين الدوال المثلثية :
(1) المقلوبات : جا هـ قتاهـ = 1 ومنها جا هـ = ، قتا هـ =

جتاهـ قا هـ = 1 ومنها جتا هـ = ، قا هـ =

طا هـ طتا هـ = 1 ومنها طا هـ = ، طتا هـ =

(2) نعلم من دائرة الوحدة أن س2 + ص2 = 1 ومنها جا2 هـ + جتا2 هـ = 1
ومنها جا2 هـ = 1 - جتا2 هـ ، جا2 هـ + جتا2 هـ = 1 - جا2 هـ

(3) 1 + طا2 هـ = قا2 هـ ومنها 1 = قا2 هـ - طا2 هـ ، قا2 هـ - 1= طا2 هـ
(4) 1 + طتا2 هـ = قتا2 هـ ومنها 1 = قتا2 هـ - طتا2 هـ ، قتا2 هـ - 1= طتا2
(5) طا هـ = ، طتا =
مثال(1) : أثبت أن : جا هـ جتا هـ طا هـ قتا2هـ = 1
الحل : نحول كل الدوال الى جاهـ و جتاهـ
الأيمن = جا هـ جتا هـ × × = جا2 هـ ×( )2 = 1 = الأيسر.

مثال(2) : أثبت أن :طاهـ + طتا هـ = قاهـ قتاهـ
الحل :
الأيمن = + = = = قتاهـ قاهـ =
= الأيسر.
مثال(3) : أثبت أن : جتا4 هـ - جا4 هـ = 1 – 2جا2 هـ = 2 جتا2 هـ - 1
الأيمن = جتا4 هـ - جا4 هـ = (جتا2 هـ - جا2 هـ)( جتا2 هـ + جا2 هـ) (فرق بين مربعين)
= جتا2 هـ - جا2 هـ (1) ( بوضع جتا2 هـ = 1 - جا2 هـ )
←= 1 - جا2 هـ - جا2 هـ = 1 – 2 جا2 هـ = الأوسط
وبوضع جا2 هـ = 1 - جتا2 هـ فى (1)
←= جتا2 هـ - (1 - جتا2 هـ) = جتا2 هـ - 1 + جتا2 هـ = 2 جتا2 هـ - 1 = الأيسر.

مثال(4) : أثبت أن : = 1 – جا هـ جتا هـ
الحل : نحلل البسط فرق بين مكعبين
الأيمن = = لكن (جا2هـ + جتا2هـ = 1)

← = جا2هـ + جتا2هـ - جاهـ جتا هـ = 1 – جا هـ جتا هـ = الأيسر

مثال(5) : أثبت أن :قتا2 هـ + قا2 هـ = قتا2 هـ قا2 هـ
الحل :
الأيمن = + = = = قتا2 هـ قا2 هـ
= الأيسر .
مثال(6) :إذا كان ا ، ب g ]0 ،90 ْ [ أثبت أن :
= طا ا طا ب
الحل :
الأيمن = = (طا ا + طا ب ) ÷ ( + ) =

= (طا ا + طا ب ) ÷ = (طا ا + طا ب )×

= طا ا + طا ب = الأيسر

مثال(7) : أثبت أن : + = 1
الحل :
الأيمن = جا س جتا س طتا س + طا س جتا س جا س =
= جا س جتا س × + × جتا س جا س = جتا2 س + جا2 س = 1 = الأيسر

تمارين
(1) أكمل :
1) جا2 27+ جتا2 27= .............
2) جا2 70+ جا2 20 = ..............
3) جتا2 65+ جتا2 25 = ..............
4) قا2 75- طا2 75 = ..............
5) قتا2 14- طتا2 14 = ..............
(2) أكتب العبارات الآتية بدلالة جا هـ ، جتا هـ فى أبسط صورة:
1) طتا2 هـ طا هـ جا هـ 2) طا هـ + طتا هـ 3) 4)

أثبت صحة المتطابقات الآتية :
(3) طا س قتا س جا(90 – س) = 1
(4) ( حا هـ + جتا هـ )2 = 1 + 2 حا هـ جتا هـ
(5) جا3 ا قتا ا + جتا3 ا قا ا = طا هـ طتا هـ
(6) حا هـ قا هـ طتا هـ + قتا هـ طا هـ جتا هـ
(7)طتا2 ا – جتا2 ا = طتا2 ا جتا2 ا

( Cool

= طا ء طا هـ

(9) ( قتا هـ - طتا هـ )2 =

(10) اختصر : ،

(11) ( 1 - جتا هـ) (1 + جتا هـ) = جا2 هـ

(12) ة1 – جتا2 هـ × طتا هـ = جتا هـ

(13) = جا هـ

(14) =

(15) إذا كان جا س – جتا س = أثبت أن 25 جا س جتا س = 8

أعزائي أعضاء أجيال المستقبل يسرني الانضمام إليكم والمشاركة معكم في خدمة أبنائنا الطلاب

وأود في هذا الموضوع الاجابة على سؤال الاثبات التالي

أثبت صحة المتطابقات الآتية :
(3) طا س قتا س جا(90 – س) = 1
(4) ( حا هـ + جتا هـ )2 = 1 + 2 حا هـ جتا هـ
(5) جا3 ا قتا ا + جتا3 ا قا ا = طا هـ طتا هـ
(6) حا هـ قا هـ طتا هـ + قتا هـ طا هـ جتا هـ
(7)طتا2 ا – جتا2 ا = طتا2 ا جتا2 ا

وأرجو من الله أن يكون في ردي هذا الفائدة والمنفعة التامة لأعزائي الطلبة والطالبات